Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 13, tg A = 2,4. Найдите AB.
Решение
Можно использовать тот факт, что треугольник ABC равнобедренный и высота CH, опущенная на основание AB , делит его на два равных отрезка AH и HB , и является также медианой и биссектрисой.
Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (высоты CH) к прилежащему катету (отрезку AH) в прямоугольном треугольнике ACH. Таким образом:
\displaystyle tg A = \frac{CH}{AH}
Поскольку AH равно \displaystyle \frac{1}{2}AB, мы можем выразить CH через AB :
\displaystyle CH = \frac{1}{2}AB \cdot tg A
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ACH:
AC^2 = AH^2 + CH^2
Подставим значения для AH и CH :
\displaystyle 13^2 = \left (\frac{1}{2}AB\right)^2 + \left (\frac{1}{2}AB \cdot tg A\right)^2 \\ \\ 169 = \frac{1}{4}AB^2 + \frac{1}{4}AB^2 \cdot tg^2 A \\ \\ 169 = \frac{1}{4}AB^2 (1 + tg^2 A)
Умножим обе стороны на 4 и разделим на 6,76, подставим значение тангенса A, равное 2,4, выразим AB:
\displaystyle AB^2 = \frac{4 \cdot 169}{6,76} = \frac{676}{6,76} \\ AB = \sqrt{\frac{676}{6,76}} = \frac{26}{\sqrt{6,76}} = \frac{26}{2,6} = 10
Таким образом, длина стороны AB равна 10.
Ответ: 10.