Теорема Виета

Теорема Виета Алгебра
Наблюдательность и способность к анализу позволяет сделать величайшие открытия. Так французский математик Франсуа Виет открыл закономерность, связывающую корни квадратного уравнения и его коэффициенты.

В 8 классе алгебры рассматривается теорема Виета, которая широко используется для упрощения вычислений корней квадратных уравнений. Эта теорема является ключевым инструментом для упрощения процесса нахождения корней приведенных квадратных уравнений.

Приведенное квадратное уравнение представляет собой уравнение вида ax^2+bx+c=0, где коэффициент a равен 1. В случае такого уравнения или его приведения можно применить теорему Виета. Обычно приведенное квадратное уравнение записывается в виде x^2+px+q=0, где p равно отношению коэффициента b к a, а q равно отношению коэффициента c к a. Любое квадратное уравнение может быть приведено к приведенному виду.

Теорема Виета — это математическое утверждение, которое устанавливает связь между коэффициентами и корнями многочлена. Для квадратного уравнения вида ax^2+bx+c=0 с корнями x_1 и x_2 теорема Виета гласит:

  1. Сумма корней равна отрицательному отношению коэффициента перед старшим членом и коэффициента перед свободным членом: \displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
  2. Произведение корней равно отношению свободного члена к коэффициенту перед старшим членом: \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.

Теорема Виета позволяет находить свойства и характеристики квадратных уравнений, используя только их коэффициенты, без явного вычисления корней.

Квадратное уравнение и его корни

Давайте вспомним, как решается стандартное квадратное уравнение. Сначала мы вычисляем его дискриминант с помощью формулы: D=b^2-4ac. Затем мы сравниваем значение дискриминанта с нулем:

  1. Если D больше нуля, то у уравнения есть два различных корня, которые мы находим с помощью следующих формул: \displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} и x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.
  2. Если D равен нулю, то у уравнения есть два одинаковых корня, которые равны: \displaystyle x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.
  3. Если D меньше нуля, то у уравнения нет действительных корней.

Давайте рассмотрим данное квадратное уравнение 2x^2 + 6x + 4 = 0 и найдем его решения.

Начнем с приведения уравнения к более простому виду. Разделим обе стороны на 2:

x^2 + 3x + 2 = 0

Теперь вычислим дискриминант этого уравнения, обозначим его как D:

D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня.

Первый корень можно найти с помощью формулы: x_1 = (-3 — \sqrt{D}) / 2.

Подставляя значение дискриминанта, получаем: x_2 = (-3 — \sqrt{1}) / 2 = -2.

Аналогично, второй корень можно найти по формуле: x_2 = (-3 + \sqrt{D}) / 2.

Подставляя значение дискриминанта, получаем: x_2 = (-3 + \sqrt{1}) / 2=-1.

Итак, у нас есть два корня: x_1 = -2 и x_2 = -1.

Сумма этих корней равна x_1+ x_2 = -2 — 1 = -3, а их произведение равно x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot (-1) = 2.

Таким образом, сумма корней равна -3, а произведение равно 2.

То есть сумма этих корней равна второму коэффициенту приведенного уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Анализируя широкий спектр представленных уравнений и исследуя суммы и произведения их корней, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) обнаружил данную закономерность и установил ее верность для всех представленных уравнений. Эту закономерность Франсуа Виет назвал теоремой, которая сегодня известна как теорема Виета. Ее доказательство было представлено в 1591 году.

Франсуа Виет

Теорема Виета и ее доказательство

Утверждение. Если уравнение x^2+px+q=0 имеет корни x_1 и x_2, то их сумма равна -p, а произведение равно q.

Доказательство:

Используя формулу корней приведенного квадратного уравнения, выразим сумму и произведение корней:

\displaystyle x_1+x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left (\frac{p}{2}\right)^2-q}+\left (-\frac{p}{2}+\sqrt{\left (\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)=-p
\displaystyle x_1\cdot x_2=\left (-\frac{p}{2}-\sqrt{\left (\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\cdot\left (-\frac{p}{2}+\sqrt{\left (\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)=\frac{p^2}{4}-\left (\left (\frac{p}{2}\right)^2-q\right)=q

Таким образом, утверждение доказано.

Полином второй степени, как было упомянуто ранее, вида ax^2+bx+c=0 может быть приведен к упрощенному виду \displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0. В этом случае, согласно теореме Виета, корни уравнения будут удовлетворять следующей системе:
\begin{cases}\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \\  \displaystyle x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}.\end{cases}

Теорема (обратная теореме Виета)

Если m и n являются числами, сумма которых равна -p, а их произведение равно q, то можно сказать, что они представляют собой решения уравнения x^2+px+q=0.

Доказательство.

Если m+n=-p и m\cdot n=q, то заменим p и q в уравнении:

x^2- (m+n) x+m \cdot n=0

При подстановке m и n, которые являются корнями уравнения, в x^2- (m+n) x+m \cdot n=0, должно получиться верное равенство.

m^2- (m+n) m+m \cdot n=0

Упростим:

m^2-m^2-mn+mn=0

Получаем:

0=0

Таким образом, мы подтвердили, что m является решением уравнения.

Теперь заменим m на n:

n^2- (m+n) n+mn=0
n^2-mn-n^2+mn=0

0=0

Следовательно, мы доказали, что n также является решением уравнения x^2+px+q=0.

Теорема успешно доказана.

Примеры применения теоремы Виета

Рассмотрим примеры, в которых целесообразно применение теоремы Виета.

Пример 1

Пожалуйста, представьте квадратное уравнение, которое имеет числа 24 и 5 в качестве корней.

Решение:

Формула, которую мы получили для квадратного уравнения, выглядит следующим образом:

x^2+px+q=0

Согласно теореме Виета, мы можем записать следующую систему уравнений:

\begin{cases} \displaystyle x_1+x_2=-p, \\   \\ \displaystyle x_1 \cdot x_2=q, \end{cases}

Используя данную информацию, мы можем вычислить значения p и q:

p=- (24+5)=-29
q=24 \cdot 5=120

Исходя из этого, перепишем исходное уравнение:

x^2-29x+120=0

Таким образом, окончательный ответ будет выглядеть так: x^2-29x+120=0.

Пример 2

Решим уравнение, используя теорему Виета.

Уравнение: x^2 — 8x + 15 = 0

Согласно теореме, корни уравнения удовлетворяют следующей системе:

\begin{cases} \displaystyle x_1+x_2=8, \\   \\ \displaystyle x_1 \cdot x_2=15, \end{cases}

Подберем значения для корней:

x_1 = 3, x_2 = 5.

Проверим правильность решения, подставив эти корни в исходное уравнение:

Первый корень:
3^2 — 8 \cdot 3 + 15 = 0 \\  9 — 24 + 15 = 0 \\ 0 = 0

Второй корень:

5^2 — 8 \cdot 5 + 15 = 0 \\ 25 — 40 + 15 = 0 \\ 0 = 0

Как видим, значения корней уравнения удовлетворяют его исходной форме.

Итак, ответ: x_1 = 3, x_2 = 5.

Пример 3

Нам необходимо найти корни уравнения x^2-14x+24=0.

Для решения воспользуемся теоремой Виета, так как уравнение имеет приведенную форму, где старший коэффициент a=1.

Используя формулы Виета, получим систему уравнений:

\begin{cases}\displaystyle x_1+x_2=14, \\  \\  \displaystyle x_1 \cdot x_2=24, \end{cases} .

Корнями уравнения будут числа x_1=12 и x_2=2. Эти значения удовлетворяют системе уравнений. Давайте проведем проверку:

 12^2-14 \cdot 12+24=0 \\ 144-168+24=0 \\ 168-168=0 \\ 0=0 
2^2-14 \cdot 2+24=0  \\ 4-28+24=0 \\ 28-28=0 \\ 0=0 

Таким образом, ответ: x_1=12 и x_2=2.

Совет 1. Если вы решаете использовать теорему Виета, не забудьте выполнить проверку, так как при выборе корней часто возникают ошибки.

Второй совет: Если вам не удается найти корни, используя теорему Виета, всегда можно решить уравнение, применяя формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

Пример 4

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

x^2-6x+9=0

Решение:

Для решения уравнения x^2-6x+9=0 и нахождения суммы и произведения его корней, мы используем формулы Виета. Эти формулы позволяют нам выразить сумму и произведение корней через коэффициенты уравнения.

По формулам Виета, сумма корней уравнения равна противоположному знаку коэффициента при x в первой степени, деленному на коэффициент при x во второй степени. В данном случае коэффициент при x в первой степени равен -6, а коэффициент при x во второй степени равен 1. Поэтому сумма корней будет — (-6)/1 = 6.

Аналогично, произведение корней уравнения равно коэффициенту свободного члена (в данном случае 9), деленному на коэффициент при x во второй степени. То есть, произведение корней равно 9/1 = 9.

Итак, мы находим, что сумма корней уравнения равна 6, а произведение корней равно 9.

Ответ: x_1+x_2=6, x_1 \cdot x_2=9.

Пример 5

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1-\sqrt{3} и 1+\sqrt{3}.

Решение:

Для нахождения квадратного уравнения с корнями 1-\sqrt{3} и 1+\sqrt{3}, мы можем использовать теорему Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами.

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения (-p) равна отрицательному коэффициенту перед x в линейном члене уравнения. В данном случае, сумма корней равна 1-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}=2, поэтому значение -p равно -2.

Также, произведение корней уравнения (q) равно свободному члену уравнения. В данном случае, произведение корней равно \left ( 1-\sqrt{3}\right) \left ( 1+\sqrt{3}\right)=1-\left (\sqrt{3}\right)^2 = 1-3=-2.

Исходя из этих значений, мы можем записать квадратное уравнение в виде x^2-2x-2=0.

Таким образом, квадратное уравнение с корнями 1-\sqrt{3} и 1+\sqrt{3} можно записать как x^2-2x-2=0.

Ответ: x^2-2x-2=0.

Если у нас есть квадратное уравнение с действительными корнями, то мы можем использовать теорему Виета для его решения. Соотношения Виета облегчают процесс нахождения корней, но если возникают сложности с их подбором, всегда можно воспользоваться общими формулами. Тем не менее, применение теоремы Виета, когда это возможно, считается наиболее разумным способом решения.

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Мария

Спасибо — нашла пример, который мне помог

Adblock
detector