Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем Алгебра

I. Математическое выражение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен а, определяется как а в степени n.

\displaystyle \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \ раз}=a^n

Примеры. Записать произведение в виде степени.

  1. mmmm;
  2. аааbb;
  3. 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot ccc;
  4. ppkk+pppk-ppkkk.

Решение:

  1. По определению степени, умножение числа m на себя четыре раза равно m в четвертой степени, что записывается как m^4.
  2. Запись aaabb эквивалентна a в третьей степени, умноженной на b во второй степени: a^3b^2.
  3. Умножение чисел 5, 5, 5, 5 и ccc эквивалентно 5 в четвертой степени, умноженному на c в третьей степени: 5^4c^3.
  4. Выражение ppkk+pppk-ppkkk может быть переписано как сумма p во второй степени, умноженной на k во второй степени, плюс произведение p в третьей степени на k, минус произведение p во второй степени на k в третьей степени: p^2k^2+p^3k-p^2k^3.

II.Возведение в степень — это операция, при которой несколько одинаковых сомножителей умножаются друг на друга. Основанием степени является число, которое возводится в степень. Показатель степени указывает, в какую степень возводится основание. Например, если мы возведем число 2 в степень 3, то получим результат 8, так как 2 возводится в куб и равно 2 \cdot 2 \cdot 2, что равно 8: 2^3=2 \cdot 2 \cdot 2 =8

Напишем следующие выражения без использования показателя степени: 

  • 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4;
  • a^3b^2c^3 = a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot c \cdot c;
  • a^3 — b^3 = a \cdot a \cdot a — b \cdot b \cdot b;
  • 2a^4 + 3b^2 = 2 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a + 3 \cdot b \cdot b.

III. При возведении числа (кроме нуля) в степень ноль, результат всегда будет равен единице. Например, 25 в степени ноль равно единице.

IV. Любое число, возведенное в степень один, равно самому себе. Например, число а в первой степени равно а.

V. При умножении чисел с одинаковыми основаниями, их степени складываются. Например, am умножить на an равно a в степени m+n, при условии, что основание остается прежним.

Примеры. Упростить:

  • x \cdot x^3 \cdot x^7;
  • y^0+y^2 \cdot y^3;
  • z^2 \cdot z^0 \cdot z \cdot z^4.

Решение.

  • x \cdot x^3 \cdot x^7=x^{1+3+7}=x^{11};
  • y^0+y^2 \cdot y^3=1+y^{2+3}=1+y^5;
  • z^2 \cdot z^0 \cdot z \cdot z^4=1 \cdot z^2 \cdot z \cdot z^4=z^{2+1+4}=z^7.

VI.  am:an=am—  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Примеры. Упростить:

  • b^6:b^1;
  • p^9:p^2;
  • 64:32.

b^6:b^1=b^{6-1}=b^5;
p^9:p^2=p^{9-2}=p^7;
64:32=2^6:2^5=2^{6-5}=2.

VII. (am)n=amn   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Примеры:

  • (b^2)^3;
  • (d^4)^2.

Решение:

  • (b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6;
  • (d^4)^2 = d^{4 \cdot 2} = d^8.

Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

  • (b^2)^3 = (b^3)^2;
  • (d^4)^2 = (d^2)^4.

 VIII. (a∙b)n=an∙bn   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

Примеры:

  • (3b^2)^4;
  • 0,1^5 \cdot 30^5;
  • 0,15^2 \cdot 20^2.

Решение:

  • (3b^2)^4 = 3^4 \cdot b^8 = 81b^8;
  • 0,1^5 \cdot 30^5 = (0,1 \cdot 30)^5 = 3^5 = 243;
  • 0,15^2 \cdot 20^2 = (0,15 \cdot 20)^2 = 3^2 = 9.


IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.Степень с натуральным показателем

Примеры. Упростить:

\displaystyle (\frac{2}{3})^4
\displaystyle \frac{10^3}{2,5^3}

Решение:

\displaystyle (\frac{2}{3})^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}
\displaystyle \frac{10^3}{2,5^3}=(\frac{10}{2,5})^3=4^3=64

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Charmaine

It's a real pleasure to find smoenoe who can think like that

Luck

Big help, big help. And spuerltaive news of course.

Adblock
detector