Задание. Решите уравнение x^3 + 4x^2 = 9x + 36.
Решение
Чтобы решить уравнение x^3 + 4x^2 = 9x + 36, перенесем все члены уравнения в одну сторону:
x^3 + 4x^2 — 9x — 36 = 0
Теперь у нас есть кубическое уравнение. Чтобы найти корни этого уравнения, можно попробовать разложить его на множители. Начнем с поиска целых корней среди делителей свободного члена (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36).
Проверим, есть ли среди них корни уравнения методом подстановки. Если подставить x = 3, получим:
3^3 + 4 \cdot 3^2 — 9 \cdot 3 — 36 = 27 + 36 — 27 — 36 = 0
Значит, x = 3 является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить кубическое уравнение на (x — 3) и получить квадратное уравнение. Деление многочленов даст нам:
(x^3 + 4x^2 — 9x — 36) : (x — 3) = x^2 + 7x + 12
Теперь решим получившееся квадратное уравнение x^2 + 7x + 12 = 0. Это уравнение можно решить через дискриминант или с помощью теоремы Виета:
x_1=-3, x_2=-4.
Теперь приравняем каждый множитель к нулю:
x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \\ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4
Итак, корни уравнения: x = 3, x = -3, и x = -4.
Ответ: -4, -3, 3.