Прямоугольник. Решение задач на прямоугольник

Задачи на прямоугольник Геометрия 7-11 класс

Задача 1. Нахождение площади прямоугольника

Условие: Диагональ прямоугольника равна 16 и составляет со стороной угол 30°. Найти площадь прямоугольника.

Первый способ: через стороны прямоугольника

Геометрическая схема

Чтобы найти площадь, используем формулу S = a \cdot b, где a и b — длина и ширина соответственно. Исходя из прямоугольного треугольника ADC, где AC = 16, а угол CAD = 30^\circ, катет CD равен половине гипотенузы, т.е. \displaystyle CD = \frac{16}{2} = 8. Другой катет AD находим по теореме Пифагора: AD^2 + CD^2 = AC^2. После подстановки значений получаем AD^2 = 192.

Вычисление длины катета

Альтернативный подход для нахождения AD — использование косинуса угла CAD: AD = AC \cdot \cos 30^\circ.

Вычисление через косинус угла

Подставляя значения в формулу площади, получаем:

Площадь прямоугольника

Второй способ: через треугольник

Разбиение на треугольники

Диагональ AC делит прямоугольник на два равных треугольника. В треугольнике ADC катет CD, противоположный углу 30^\circ, равен половине гипотенузы, то есть 8 см. Площадь прямоугольника равна удвоенной площади треугольника ADC, которая находится через произведение AC и CD на синус угла между ними.

Площадь через треугольник

Третий способ: через диагонали

Использование диагоналей

Площадь прямоугольника можно найти как половину произведения его диагоналей на синус угла между ними. После проведения второй диагонали BD и обозначения точки пересечения O, находим, что угол AOB = 60^\circ. Используя данное свойство, вычисляем площадь.

Площадь через диагонали

Задача 2. Нахождение периметра и площади прямоугольника

Условие: Диагональ прямоугольника составляет с его стороной, равной 10 см, угол 60°. Найти периметр и площадь прямоугольника.

Геометрическая схема

Периметр прямоугольника определяется как P = 2 (a + b), а площадь как S = a \cdot b, где a и b — известная и неизвестная стороны. Используя тангенс угла 60^\circ, находим вторую сторону: b = a \cdot tg 60^\circ.

Нахождение стороны и периметра

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Adblock
detector