Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма Геометрия 7-11 класс

I. Теорема о параллелограмме

Четырехугольник, имеющий параллельные и равные противоположные стороны, является параллелограммом.

Задача 1

В параллелограмме ABCD, где AB не равно BC и угол A акутальный, из вершин B и D на прямую AC опущены перпендикуляры BK и DM. Нужно доказать, что четырехугольник BMDK является параллелограммом.

Решение задачи 1

Решение

Поскольку линии BK и DM оба перпендикулярны линии AC, следует, что они параллельны друг другу. Так как BK и DM также служат высотами в треугольниках ΔABC и ΔCDA, исходящих из вершин равных углов ∠B и ∠D к общей стороне AC, они равны между собой. Отсюда вытекает, что стороны BK и DM четырехугольника BMDK не только параллельны, но и равны, что по определению делает BMDK параллелограммом.

II. Критерий параллелограмма

Четырехугольник, чьи противоположные стороны равны между собой, является параллелограммом.

Задача 2

На сторонах четырехугольника ABCD отмечены точки M, N, P и Q таким образом, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Требуется доказать, что как ABCD, так и MNPQ являются параллелограммами.

Решение задачи 2

Решение

1. Учитывая, что в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны состоят из отрезков равной длины, они равны: AD=BC и AB=CD, что делает ABCD параллелограммом.

2. Анализируя треугольники ΔMBN и ΔPDQ, видим, что BM=DP и BN=DQ согласно условию, а ∠B и ∠D равны как противоположные углы параллелограмма ABCD. Следовательно, ΔMBN конгруэнтен ΔPDQ по двум сторонам и углу между ними, что приводит к равенству противоположных сторон MN и PQ четырехугольника MNPQ. Таким же образом, равенство треугольников ΔMAQ и ΔPCN подтверждает равенство сторон MQ и PN. Это доказывает, что противоположные стороны четырехугольника MNPQ равны, а значит, MNPQ – тоже параллелограмм.

III. Свойство диагоналей параллелограмма

Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и делятся пополам точкой пересечения, является параллелограммом.

Задача 3

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Необходимо доказать, что четырехугольник MNPQ, вершины которого находятся в серединах отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом.

Решение задачи 3

Решение

Диагонали параллелограмма ABCD делятся точкой O пополам, что дает нам OA=OC и OB=OD. Поскольку вершины четырехугольника MNPQ являются серединами отрезков OA, OC, OB, и OD, диагонали MP и NQ четырехугольника также пересекаются в точке O, которая служит их серединой. Так как BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP, диагонали MP и NQ делятся точкой пересечения пополам. Это подтверждает, что четырехугольник MNPQ по определению является параллелограммом.

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Adblock
detector