Сокращенное умножение — это удобный и быстрый способ записи произведения нескольких множителей. Однако, для некоторых людей, особенно для начинающих, может быть сложно понять и запомнить правила сокращенного умножения. Для закрепления и лучшего понимания этих правил можно использовать различные примеры и задачи. В данном тексте мы рассмотрим несколько примеров, которые помогут легче запомнить формулы сокращенного умножения и научиться их применять в решении задач.
Квадрат суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
Примеры на квадрат суммы
- (3a+b)^2 = 9a^2+6ab+b^2
- (x+3)^2 = x^2+6x+9
- (2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2
- (3a+4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2
- (5m+7n)^2 = 25m^2+70mn+49n^2
- (p+q)^2 = p^2+2pq+q^2
- (2a+3b)^2 = 4a^2+12ab+9b^2
- (4x+6y)^2 = 16x^2+48xy+36y^2
- (7m+5n)^2 = 49m^2+70mn+25n^2
- (2p+9q)^2 = 4p^2+36pq+81q^2
Квадрат разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
Примеры на квадрат разности
- (a^2 — b)^2 = a^4 — 2a^2 b + b^2
- (x^2 — 4)^2 = x^4 — 8x^2 + 16
- (4a — 3b)^2 = 16a^2 — 24ab + 9b^2
- (5p — 7q)^2 = 25p^2 — 70pq + 49q^2
- (2x^2 — 5)^2 = 4x^4 — 20x^2 + 25
- (3m^2 — 2n^3)^2 = 9m^4 — 12m^2n^3 + 4n^6
- (x — 2y)^2 = x^2 — 2\cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 — 4xy + 4y^2
- (3a — 5b)^2 = (3a)^2 — 2\cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = 9a^2 — 30ab + 25b^2
- (2x — 3)^2 = (2x)^2 — 2\cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 — 12x + 9
- (4m — 7n)^2 = (4m)^2 — 2\cdot 4m \cdot 7n + (7n)^2 = 16m^2 — 56mn + 49n^2
- (p — q)^2 = p^2 — 2pq + q^2
- (a — 2b)^2 = a^2 — 2\cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 — 4ab + 4b^2
- (5x — 2y)^2 = (5x)^2 — 2\cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = 25x^2 — 20xy + 4y^2
- (2a — 3b)^2 = (2a)^2 — 2\cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2
- (6m — 5n)^2 = (6m)^2 — 2\cdot 6m \cdot 5n + (5n)^2 = 36m^2 — 60mn + 25n^2
- (2p — q)^2 = (2p)^2 — 2\cdot 2p \cdot q + q^2 = 4p^2 — 4pq + q^2
Разность квадратов
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
a^2 — b^2 = (a+b)(a-b)
Примеры на разность квадратов
- x^2 — 9y^2 = (x+3y)(x-3y)
- 16m^2 — n^2 = (4m+n)(4m-n)
- 9a^2 — 25b^2 = (3a+5b)(3a-5b)
- 4x^2 — 1 = (2x+1)(2x-1)
- y^2 — 36z^2 = (y+6z)(y-6z)
- 64m^2 — 9n^2 = (8m+3n)(8m-3n)
- x^2 — 4 = (x+2)(x-2)
- 25a^2 — 4b^2 = (5a+2b)(5a-2b)
- 9x^2 — 16y^2 = (3x+4y)(3x-4y)
- 25x^2 — 16y^2 = (5x + 4y)(5x — 4y)
- 49m^2 — 36n^2 = (7m + 6n)(7m — 6n)
- 16a^2 — 9b^2 = (4a + 3b)(4a — 3b)
- 9x^2 — 4y^2 = (3x + 2y)(3x — 2y)
- 64m^2 — 81n^2 = (8m + 9n)(8m — 9n)
- 36a^2 — 25b^2 = (6a + 5b)(6a — 5b)
- 100x^2 — 121y^2 = (10x + 11y)(10x — 11y)
- 144m^2 — 49n^2 = (12m + 7n)(12m — 7n)
- 81a^2 — 64b^2 = (9a + 8b)(9a — 8b)
- (9x^2 — 4y^2) = (3x — 2y)(3x + 2y)
- (49a^2 — 36b^2) = (7a — 6b)(7a + 6b)
Куб суммы двух выражений
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Примеры на куб суммы
- (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
- (m + n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3
- (p + q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3
- (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
- (3b + 4)^3 = 27b^3 + 108b^2 + 144b + 64
- (2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
- (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
- (2y + 3)^3 = 8y^3 + 27y^2 + 27y + 27
- (m + 4)^3 = m^3 +12m^2 + 48m + 64
- (3t + 2)^3 = 27t^3 + 54t^2 + 36t + 8
- (2x + 5)^3 = 8x^3 + 60x^2 + 150x + 125
- (n + 6)^3 = n^3 + 18n^2 + 108n + 216
- (4a + 1)^3 = 64a^3 + 48a^2 + 12a + 1
- (y + 5)^3 = y^3 +15y^2 + 75y + 125
- (6b + 2)^3 = 216b^3 + 216b^2 + 72b + 8
- (2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
- (3y + 4)^3 = 27y^3+ 108y^2 + 144y + 64
- (a + 2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8
- (5b + 3)^3 = 125b^3+ 225b^2 + 135b + 27
- (x + 4)^3 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64
- (2y + 5)^3 = 8y^3 — 60y^2 + 150y + 125
- (2a + 3)^3 = 8a^3 + 36a^2 + 54a + 27
- (4b + 1)^3 = 64b^3 + 48b^2 + 12b + 1
- (5y + 2)^3 = 125y^3 + 150y^2 + 60y + 8
- (7p + 4q)^3 = 343p^3 + 588p^2q + 336pq^2 + 64q^3
Куб разности
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3
Примеры на куб разности
- (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3
- (2x — 3)^3 = 8x^3 — 36x^2 + 54x — 27
- (4a — 2b)^3 = 64a^3 — 96a^2b + 48ab^2 — 8b^3
- (5y — 2)^3 = 125y^3 — 150y^2 + 60y — 8
- (7z — 5)^3 = 343z^3 — 735z^2 + 525z — 125
- (x — 1)^3 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1
- (a — 2)^3 = a^3 — 6a^2 + 12a — 8
- (3b — 1)^3 = 27b^3 — 27b^2 + 9b — 1
- (m — 4)^3 = m^3 — 12m^2 + 48m — 64
- (5x — 2)^3 = 125x^3 — 150x^2 + 60x — 8
- (2n — 3)^3 = 8n^3 — 54n^2 + 162n — 162
- (p — 5)^3 = p^3 — 15p^2 + 75p — 125
- (2r — 7)^3 = 8r^3 — 84r^2 + 294r — 343
- (x — 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x — 1
- (3a — 2)^3 = 27a^3 — 54a^2 + 36a — 8
Сумма кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)
Примеры на сумму кубов
- a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
- p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 — pq + q^2)
- m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 — mn + n^2)
- r^3 + s^3 = (r + s)(r^2 — rs + s^2)
- x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)
- a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 — 3a + 9)
- p^3 + 125 = (p + 5)(p^2 — 5p + 25)
- m^3 + 64 = (m + 4)(m^2 — 4m + 16)
- r^3 + 343 = (r + 7)(r^2 — 7r + 49)
- 8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 — 6xy + 9y^2)
- a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)
- 27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 — 3x + 1)
- a^3 + 125 = (a + 5)(a^2 — 5a + 25)
- 8t^3 + 1 = (2t + 1)(4t^2 — 2t + 1)
- x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1)
- 27y^3 + 125 = (3y + 5)(9y^2 — 15y + 25)
- a^3 + 64b^3 = (a + 4b)(a^2 — 4ab + 16b^2)
- 64x^3 + 1 = (4x + 1)(16x^2 — 4x + 1)
- 27a^3 + 8b^3 = (3a + 2b)(9a^2 — 6ab + 4b^2)
- 125y^3 + 1 = (5y + 1)(25y^2 — 5y + 1)
Разность кубов
Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
Примеры на разность кубов
Вот несколько примеров на разность кубов:
- 125x^3 — 27y^3 = (5x — 3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2)
- 8a^3 — 27b^3 = (2a — 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)
- 343p^3 — 64q^3 = (7p — 4q)(49p^2 + 28pq + 16q^2)
- 64m^3 — 27n^3 = (4m — 3n)(16m^2 + 12mn + 9n^2)
- 216x^3 — 1 = (6x — 1)(36x^2 + 6x + 1)
- 27a^3 — 8b^3 = (3a — 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)
- 512p^3 — 343q^3 = (8p — 7q)(64p^2 + 56pq + 49q^2)
- 125y^3 — 216x^3 = (5y — 6x)(25y^2 + 30xy + 36x^2)
- 343a^3 — 64b^3 = (7a — 4b)(49a^2 + 28ab + 16b^2)
- 64x^3 — 27y^3 = (4x — 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)
- 125x^3 — 64y^3 = (5x — 4y)(25x^2 + 20xy + 16y^2)
- 343a^3 — 125b^3 = (7a — 5b)(49a^2 + 35ab + 25b^2)
- 27x^3 — 1 = (3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)
- 125y^3 — 27z^3 = (5y — 3z)(25y^2 + 15yz + 9z^2)
- 64a^3 — 125b^3 = (4a — 5b)(16a^2 + 20ab + 25b^2)
- 27x^3 — 64y^3 = (3x — 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)
- 512a^3 — 125b^3 = (8a — 5b)(64a^2 + 40ab + 25b^2)