Постройте график функции y=x|x|-|x|-3x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
x находится под знаком модуля и поэтому мы будем исследовать функцию y=x|x|-|x|-3x на интервалах x<0 и x \geqslant 0, так как
|x|=\begin{cases} x, если \ x \geqslant 0 \\ — x, если \ x<0 \end{cases}
То есть, фактически мы будем иметь 2 функции — одна будет существовать на интервале (-\infty; 0), а другая на интервале [0; +\infty).
Функция при x \geqslant 0
На этом интервале мы убираем знак модуля и заменяем |x| =x, получим:
y=x \cdot x-x-3x=x^2-4x
График функции y= x^2-4x строим только на интервале [0; +\infty). На других интервалах эта функция не существует, так как это часть функции y=x|x|-|x|-3x.
Графиком данной функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы имеет абсциссу \displaystyle x_{верш.}=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2.
А ордината вершины параболы y= x^2-4x это y_{верш.}(x_{верш.})=y (1)=2^2-4 \cdot 2=4-8=-4.
Итак, вершина параболы будет точка с координатами (2;-4)
Найдем еще точки для построения графика:
x | 0 | 1 | 3 |
y | 0 | -3 | -3 |
Теперь можно построить эту параболу:
Функция при x < 0
На этом интервале мы убираем знак модуля и заменяем |x| =-x:
y=x \cdot (-x)+x-3x=-x^2-2x
График функции y= -x^2-2x строим только на интервале (-\infty; 0). На других интервалах эта функция не существует, так как это часть функции y=x|x|-|x|-3x.
Графиком данной функции является парабола. Ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы имеет абсциссу \displaystyle x_{верш.}=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1.
А ордината вершины параболы y= -x^2-2x это y_{верш.}(x_{верш.})=y (-1)=- (-1)^2-2 \cdot (-1)=-1+2=1.
Итак, вершина параболы будет точка с координатами (-1;1)
Найдем еще точки для построения графика:
x | 0 | -2 | -3 |
y | 0 | 0 | -3 |
Теперь можно построить эту параболу:
График функции y=x|x|-|x|-3x
Объединим теперь правую и левую части и получим график функции y=x|x|-|x|-3x.
Теперь ответим на вопрос задачи — определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Обратим внимание, что прямая y=m — это прямая, параллельная оси Ox. Будем проводить эту прямую и подсчитывать сколько точек графика данной функции она пересечёт.
Графики y=6, y=3 и y=-5 пересекают график функции y=x|x|-|x|-3x в одной точке.
А график y=-2 в трех точках.
И только графики функций y=1 и y=-4 пересекают график функции y=x|x|-|x|-3x в двух точках.
Значит, искомые значения m: 1 и -4.
Ответ: m=-4; m=1.