В школьном курсе математики, особенно в 11 классе, мы изучаем различные темы алгебры и анализа. Одной из важных тем является понятие первообразной функции и понятие неопределенного интеграла. В этой статье мы рассмотрим, что такое первообразная функция, как она связана с понятием неопределенного интеграла и какие основные свойства и методы используются при работе с ними.
Первообразная функции
Первообразная функция — это обратное понятие к производной функции. Если у нас есть функция f (x), то ее первообразной называется такая функция F (x), производная которой равна f (x). Формально это записывается как F ^\prime (x) = f (x). То есть, если взять производную от первообразной функции, мы получим исходную функцию.
У каждого математического оператора имеется соответствующий обратный оператор. Так же, как действие дифференцирования (нахождение производных функций) имеет своё обратное действие — интегрирование. Интегрирование позволяет находить (восстанавливать) функцию по её производной или дифференциалу. Функцию, полученную в результате интегрирования, называют первообразной.
Определение. Если функция F (x) дифференцируема на заданном промежутке и для всех значений x в этом промежутке производная F ^\prime (x) равна функции f (x), то функция F (x) называется первообразной для функции f (x).
Примеры
Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3 \cos3x:
- Для функции f (x) = 2x, мы можем найти первообразную, используя тот факт, что производная от x^2 равна 2x. Поэтому, по определению, функция F (x) = x^2 будет первообразной для функции f (x) = 2x.
- Для функции f (x) = 3\cos (3x), мы можем заметить, что производная от \sin (3x) равна 3\cos (3x). Если мы обозначим f (x) = 3cos (3x) и F (x) = \sin (3x), то, по определению первообразной, мы получим F ^\prime (x) = f (x), что означает, что F (x) = \sin (3x) является первообразной для f (x) = 3 \cos (3x).
Заметим также, что (\sin (3x) + 5) ^\prime = 3 \cos (3x) и ( \sin (3x) — 6) ^\prime = 3 \cos (3x), то есть вместо 5 можно подставить любое число, тогда в общем виде мы можем записать (\sin (3x) + C) ^\prime = 3 \cos (3x), где C — произвольная постоянная. Эти примеры демонстрируют неоднозначность интегрирования, в отличие от дифференцирования, где у любой дифференцируемой функции есть единственная производная.
Определение: Если у функции F (x) есть производная f (x) на определенном интервале, то множество всех таких функций F (x) называется первообразной для функции f (x). Первообразная функция F (x) может быть представлена в виде F (x) + C, где С — произвольная постоянная.
Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных функции f (x) на рассматриваемом интервале называется неопределенным интегралом и обозначается символом \int (знак интеграла). Таким образом, запись \int f (x) dx (читается «интеграл эф от икс по дэ икс»)означает неопределенный интеграл функции f (x).
В этой записи f (x) dx — это подынтегральное выражение, где f (x) представляет собой подынтегральную функцию, а x — переменную интегрирования.
F (x) — это первообразная функция для f (x), а С — произвольная постоянная величина.
Теперь приведенные примеры можно записать следующим образом:
- Интеграл \int 2хdx равен x^2+C.
- Интеграл \int 3 \cos3xdx равен \sin3x+C.
Что означает знак «d»?
Знак «d» — это символ дифференциала, и он выполняет две функции: во-первых, он отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования, и, во-вторых, всё, что находится после этого знака, дифференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.
Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
Решение.
В данном случае, после дифференциала d стоит переменная x. Это означает, что переменная интегрирования x, а p следует рассматривать как постоянную величину.
∫ 2pxdx = px^2+ C. Сравните с примером 1).
Для проверки результата, возьмем производную от F (x): F^\prime (x) = (px^2 + C)^\prime = p \cdot (x^2)^\prime + C^\prime = p \cdot 2x = 2px = f (x).
В данном случае, после дифференциала d стоит переменная p. Это означает, что переменная интегрирования p, а множитель x следует считать постоянной величиной.
∫ 2pxdp = p^2x + C. Сравните с примерами 1) и 3).
Для проверки результата, возьмем производную от F (p): F^\prime (p) = (p^2x + C)^\prime = x \cdot (p^2)^\prime + C^\prime = x \cdot 2p = 2px = f (p).