Найдите корень уравнения 4^(5х+2) = 0,8·5^(5х+2)

Найдите корень уравнения 4^(5х+2) = 0,8·5^(5х+2) ЕГЭ по математике профильный уровень

Изучение и решение уравнений представляет серьезную проблему для учащихся в школе, в частности, показательные уравнения, где корень находится в показателе степени. Давайте подробно разберем одно из таких уравнений, чтобы лучше понять его решение. В качестве примера для решения первого задания по математике профильного уровня на экзамене ЕГЭ, мы возьмем показательное уравнение, сформулированное следующим образом: требуется найти корень уравнения 4^{5x+2}=0,8 \cdot 5^{5x+2}.

Решение:

Для решения показательного уравнения требуется достичь равенства оснований степеней как справа, так и слева. В случае невозможности этого, можно попробовать прологарифмировать обе части уравнения с целью достижения равных логарифмов, которые затем можно будет сократить как слева, так и справа.

Однако, похоже, что в данном уравнении не требуется применять логарифмы.

Мы можем переписать уравнение следующим образом: \displaystyle 4^{5x} \cdot 4^2=0,8 \cdot 5^{5x} \cdot 5^2.

Мы использовали свойство степеней, согласно которому при умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются. Таким образом, степени с суммой показателей могут быть представлены в виде произведения степеней с одинаковым основанием.

Если мы проведем следующие алгебраические преобразования, то получим аналогичное уравнение:

\displaystyle \frac{16}{5^{5x}} \cdot \left (\frac{4}{5}\right)^{5x} = 20.

Выразим это уравнение с использованием экспоненциальной записи:

\displaystyle 16 \cdot \left (\frac{4}{5}\right)^{5x} = 20 \cdot 5^{5x}.

Мы использовали свойство степени, которое позволяет заменить деление степеней с разными основаниями, но с одинаковыми показателями, дробью, возведенной в этот показатель. В данном случае мы разделили обе части уравнения на 16:

\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{20}{16}

или

\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{5}{4}.

Поскольку \displaystyle \frac{5}{4}=(\frac{4}{5})^{-1}, мы получили одинаковое основание с обеих сторон от знака равенства. Если основания равны, то показатели степени также должны быть равны, и мы получаем простое уравнение:

\displaystyle 5x=-1,

\displaystyle x=\frac{-1}{5},

\displaystyle x=-0,2.

Таким образом, мы успешно применили свойство степени и получили значение переменной x равным -0,2.

Ответ: -0,2

В процессе решения данного уравнения нам необходимо обладать знаниями о характеристиках степеней и удерживать в сознании главную цель — достичь одинаковой основы степени как справа, так и слева от знака равенства.

Дополнительные сведения о свойствах степеней можно найти в следующей статье: Свойства степеней с натуральными показателями, с которой рекомендую ознакомиться.

Свойства степеней вы можете посмотреть в этой статье: Свойства степени с натуральным показателем.

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
2 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Ольга

Мне все понятно спасибо.

Ирина

Наверное надо преобразовать это уравнение к виду (4/5)^(5х+2)=0,8

Adblock
detector