Изучение и решение уравнений представляет серьезную проблему для учащихся в школе, в частности, показательные уравнения, где корень находится в показателе степени. Давайте подробно разберем одно из таких уравнений, чтобы лучше понять его решение. В качестве примера для решения первого задания по математике профильного уровня на экзамене ЕГЭ, мы возьмем показательное уравнение, сформулированное следующим образом: требуется найти корень уравнения 4^{5x+2}=0,8 \cdot 5^{5x+2}.
Решение:
Для решения показательного уравнения требуется достичь равенства оснований степеней как справа, так и слева. В случае невозможности этого, можно попробовать прологарифмировать обе части уравнения с целью достижения равных логарифмов, которые затем можно будет сократить как слева, так и справа.
Однако, похоже, что в данном уравнении не требуется применять логарифмы.
Мы можем переписать уравнение следующим образом: \displaystyle 4^{5x} \cdot 4^2=0,8 \cdot 5^{5x} \cdot 5^2.
Мы использовали свойство степеней, согласно которому при умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются. Таким образом, степени с суммой показателей могут быть представлены в виде произведения степеней с одинаковым основанием.
Если мы проведем следующие алгебраические преобразования, то получим аналогичное уравнение:
\displaystyle \frac{16}{5^{5x}} \cdot \left (\frac{4}{5}\right)^{5x} = 20.
Выразим это уравнение с использованием экспоненциальной записи:
\displaystyle 16 \cdot \left (\frac{4}{5}\right)^{5x} = 20 \cdot 5^{5x}.
Мы использовали свойство степени, которое позволяет заменить деление степеней с разными основаниями, но с одинаковыми показателями, дробью, возведенной в этот показатель. В данном случае мы разделили обе части уравнения на 16:
\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{20}{16}
или
\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{5}{4}.
Поскольку \displaystyle \frac{5}{4}=(\frac{4}{5})^{-1}, мы получили одинаковое основание с обеих сторон от знака равенства. Если основания равны, то показатели степени также должны быть равны, и мы получаем простое уравнение:
\displaystyle 5x=-1,
\displaystyle x=\frac{-1}{5},
\displaystyle x=-0,2.
Таким образом, мы успешно применили свойство степени и получили значение переменной x равным -0,2.
Ответ: -0,2
В процессе решения данного уравнения нам необходимо обладать знаниями о характеристиках степеней и удерживать в сознании главную цель — достичь одинаковой основы степени как справа, так и слева от знака равенства.
Дополнительные сведения о свойствах степеней можно найти в следующей статье: Свойства степеней с натуральными показателями, с которой рекомендую ознакомиться.
Свойства степеней вы можете посмотреть в этой статье: Свойства степени с натуральным показателем.
Мне все понятно спасибо.
Наверное надо преобразовать это уравнение к виду (4/5)^(5х+2)=0,8