Натуральный логарифм

Натуральный логарифм Алгебра

Натуральный логарифм — это логарифм с основанием e, где e — основание экспоненциальной функции (приближенное значение e равно около 2,71828). Обозначается он как \ln (x), где x — положительное число.

Натуральный логарифм имеет много приложений в математике, науке и инженерии. Он широко используется для моделирования роста и убывания процессов, решения дифференциальных уравнений, анализа сложных функций и многих других областей.

Свойства натурального логарифма

  • \ln 1 = 0: Натуральный логарифм от единицы равен нулю.
  • \ln e = 1: Натуральный логарифм от числа e равен единице.
  • \ln xy = \ln (x) + \ln (y): Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов этих чисел.
  • \displaystyle \ln \frac{x}{y} = \ln (x) — \ln (y): Натуральный логарифм частного двух чисел равен разности натуральных логарифмов этих чисел.
  • \ln x^a = a \cdot \ln (x): Натуральный логарифм степени числа равен произведению этой степени на натуральный логарифм числа.

Натуральный логарифм имеет много интересных свойств и применений в математике и науке, и является важным инструментом для работы с экспоненциальными функциями и логарифмическими уравнениями.

Примеры решения задач

Пример 1

Найдите решение уравнения \ln (x^2) = 3.

Решение:

Используем свойство логарифма: \ln (a^b) = b \cdot \ln (a)

Таким образом, уравнение можно переписать как:

2 \cdot \ln (x) = 3
\ln (x) = 3 / 2
x = e^{\frac{3}{2}}
x ≈ 4.48168907

Пример 2

Найдите значение натурального логарифма от числа e^π.

Решение:
\ln e^π = π

Пример 3

Решите уравнение \ln (2x + 1) = \ln (x + 4).

Решение:

Используем свойство логарифма: \ln (a) = \ln (b) => a = b (при условии, что a и b положительны)

2x + 1 = x + 4
x = 3

Пример 4

Найдите интеграл от функции f (x) = \ln (x).

Решение:
∫\ln (x) dx = x (\ln (x) — 1) + C
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Adblock
detector