Задача. Найдите значения A и B при которых данное тождество верное: 3x^5 — x^4 — 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + 1).
Решение
Для того чтобы найти значения A и B , при которых тождество
3x^5 — x^4 — 3x + 1 = (x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + 1)
верное, нужно раскрыть правую сторону уравнения и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях x к коэффициентам в левой стороне уравнения.
Раскроем скобки в правой стороне:
(x^2 + 1)(3x^3 + Ax^2 + Bx + 1) = 3x^5 + Ax^4 + Bx^3 + x^2 + 3x^3 + Ax^2 + Bx + 1
Группируем члены с одинаковыми степенями x :
3x^5 + Ax^4 + (3 + B) x^3 + (A + 1) x^2 + Bx + 1
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x к коэффициентам в левой стороне уравнения:
- При x^5: коэффициент в левой стороне 3, в правой тоже 3, поэтому с этой степенью всё в порядке.
- При x^4: коэффициент в левой стороне -1, значит A = -1 откуда A = -1 .
- При x^3: коэффициент в левой стороне 0, значит 3 + B = 0 откуда B = -3 .
- При x^2: коэффициент в левой стороне 0, и A + 1=-1+1=0 уже определено как 0, поэтому здесь всё верно.
- При x: коэффициент в левой стороне -3, и B уже определено как -3, поэтому здесь всё верно.
- Свободный член: в левой стороне 1, в правой тоже 1, так что тут тоже всё сходится.
Таким образом, A = -1 и B = -3 являются значениями, при которых данное тождество верно.
Ответ: А=-1, B=-3.