Задание. Найдите значение выражения \sqrt{a^6 \cdot (-a)^2} при a = 3.
Решение
Начнём с исходного выражения \sqrt{a^6 \cdot (-a)^2}. Первым делом, распознаем, что внутри корня у нас произведение двух степеней с одинаковым основанием a, но разными показателями. Ключевой момент здесь — понимание, что возведение отрицательного числа в чётную степень даст нам положительное число. Это значит, что (-a)^2 можно упростить до a^2, поскольку минус на минус даёт плюс.
\sqrt{a^6 \cdot (-a)^2} = \sqrt{a^6 \cdot a^2} = \sqrt{a^{6+2}} = \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = a^4
Теперь, умножая две степени с одинаковым основанием, мы просто складываем их показатели, согласно свойствам степеней. Итак, у нас получается a^{6+2}, что равно a^8.
Взятие квадратного корня из a^8 упрощается до a^4, поскольку a^8 это квадрат a^4. После извлечения корня, выражение полностью упрощается до a^4.
После этого мы подставляем значение a, равное 3, в полученное выражение. Возводим 3 в четвёртую степень, что равно 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 и получаем 81.
Подставим значение a = 3:
a^4 = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
Таким образом, ответ для нашего выражения при заданном значении a = 3 составляет 81. В бланк ответов пишем только число 81.
Ответ: 81.