Найдите наименьшее значение функции y=x√x-27x+6 на отрезке [1; 422]

Найдите наименьшее значение функции Y=x√x 27x+6 на отрезке ЕГЭ по математике профильный уровень

Найдите наименьшее значение функции y=x \sqrt{x}-27x+6 на отрезке [1; 422].

Решение: Для нахождения минимального значения функции на определенном интервале, требуется идентифицировать точки, где производная функции равна нулю.

Что такое критические точки
Критические точки функции представляют собой места на графике функции, где достигаются наибольшие или наименьшие значения. В этих точках значение производной функции равно нулю.

Наш план состоит в определении значения функции внутри отрезка, если она попадает в него. Также мы вычислим значения функции на концах отрезка, а именно y (1) и y (422). Затем мы сравним все полученные значения функции, включая критические точки, точки начала и конца отрезка, и выберем наименьшее значение из них.

Давайте теперь приступим к выявлению критических функции, для этого мы найдем ее производную.

\displaystyle y^\prime (x)=(x \sqrt{x}-27x+6)^\prime =(x\sqrt{x})^\prime — (27x)+6^\prime =(x^{\frac{3}{2}})^\prime -27=\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}-27

Здесь мы упростили задачу, заменив выражение x \sqrt{x}=x \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}. В итоге, нахождение производной от степени стало проще, чем производной от произведения.

Давайте теперь установим значение производной равным нулю:

y^\prime (x)=0
\displaystyle \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}-27=0
\sqrt{x}=18
x=18^2
x=324.

Мы обнаружили важную точку x=324, которая находится в пределах интервала [1,422]. Теперь давайте рассмотрим значение функции в этой точке: y (324) = 324 \cdot \sqrt{324} — 27 \cdot 324 + 6 = 18 \cdot 324 — 27 \cdot 324 + 6 = -9 \cdot 324 + 6 = -2910.

Теперь определим какие значения принимает функция на границах отрезка:

  1. y (1)=1-27+6=-20
  2. y (422)=422 \sqrt{422}-27 \cdot 422+6 \approx 8669-11394+6 \approx -2719.

Таким образом, среди трех значений, значение функции -2910 является самым маленьким. Естественно, невозможно нарисовать функцию на экзамене, за исключением, быть может, схематического изображения. Однако, мы решили нарисовать эту функцию для вас, чтобы вы могли увидеть, что значение в точке x=324 действительно минимальное.

y=x√x-27x+6
y=x√x-27x+6

Ответ: -2910.

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Adblock
detector