Найдите наименьшее значение функции y=x \sqrt{x}-27x+6 на отрезке [1; 422].
Источник задачи — Сборник тренировочных заданий ЕГЭ по математике под редакцией Ященко.
Решение
Для определения наименьшего значения заданной функции на интервале [1; 422] сначала найдем ее производную и критические точки.
Производная функции y = x \sqrt{x} — 27x + 6 вычисляется следующим образом:
y^{\prime}=(x^{1,5})^{\prime}- (27x)+(6)^{\prime}=1,5x^{0,5}-27
Теперь решим уравнение y^{\prime}=0 для определения критических точек:
1,5x^{0,5} — 27 = 0 \\ 1,5 \sqrt{x} = 27 \\ \sqrt{x} = 18 \\ x = 324
Так как значение x = 324 лежит в пределах интервала [1; 422], это является критической точкой, и ее следует учесть при нахождении наименьшего значения.
Теперь вычислим значения функции на концах интервала и в критической точке:
y (1) = 1 \cdot \sqrt{1} — 27 \cdot 1 + 6 = -20 \\ y (324) = 324 \cdot 18 — 27 \cdot 324 + 6 = -2910 \\ y (422) = 422 \cdot \sqrt{422} — 27 \cdot 422 + 6 \approx -2737
Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на данном интервале достигается в точке x = 324 и равно -2910.
Итак, наименьшее значение функции на отрезке [1; 422] составляет -2910.
Ответ: -2910.