Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) данных чисел

Наибольший общий делитель 5 класс. Математика.
НОД - наибольший общий делитель двух чисел, который широко применяется в математике и информатике. В статье мы рассмотрим понятие НОД, его свойства и способы нахождения, включая алгоритм Евклида и его модификации. Вы узнаете, как применять НОД в решении задач и какие примеры можно найти в жизни.

Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел. Наибольший общий делитель можно вычислить как произведение общих простых множителей в разложениях этих чисел. Например, для чисел 24 и 42, НОД равен 6, так как общими простыми множителями этих чисел являются 2 и 3. Если два натуральных числа имеют только один общий делитель — единицу, то они называются взаимно простыми.

Понятие НОД и его свойства

Наибольшим общим делителем (НОД) двух или более целых чисел называется наибольшее целое число, которое делит все данные числа без остатка. Например, НОД для 12 и 18 равен 6, потому что 6 является наибольшим числом, которое делит оба числа без остатка.

Существует несколько способов нахождения НОД. Один из наиболее распространенных методов — это разложение на простые множители. Для этого необходимо разложить каждое число на простые множители и умножить все общие простые множители вместе. НОД будет равен произведению всех этих множителей.

Например, чтобы найти НОД для 24 и 42, мы разлагаем каждое число на простые множители: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 и 42 = 2 · 3 · 7. Общие простые множители здесь — 2 и 3. Их произведение равно 6, поэтому НОД(24, 42) = 6.

разложение на множители числа 24
Разложение на множители числа 24
Разложение на множители числа 42
Разложение на множители числа 42

Существует несколько свойств НОД:

  1. НОД(a, b) = НОД(b, a). То есть порядок чисел не имеет значения при нахождении НОД.
  2. НОД(a, 0) = a. 0 делится на любое число без остатка, поэтому НОД(a, 0) всегда равен a.
  3. Если a делится на b без остатка, то НОД(a, b) = b. Например, НОД(15, 3) = 3.
  4. НОД(a, b) = НОД(a mod b, b), где mod обозначает операцию остатка от деления. Это свойство позволяет быстрее вычислять НОД, особенно для больших чисел.

Кроме того, два числа являются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Если числа не имеют общих делителей, кроме 1, то они являются взаимно простыми. Например, 5 и 7 являются взаимно простыми, а 6 и 8 — нет.

НОД (наибольший общий делитель) — это наибольшее натуральное число, которое одновременно является делителем двух или более целых чисел. Например, НОД(24, 36) = 12, так как 12 делит и 24, и 36 без остатка, и это наибольшее число, которое делит оба этих числа. НОД может быть использован для упрощения дробей, нахождения общего знаменателя, решения диофантовых уравнений и других задач в алгебре и арифметике. Если НОД двух чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми. Если НОД нескольких чисел равен 1, то эти числа попарно взаимно просты.

Примеры нахождения НОД

Пример 1

Найти НОД(15; 35).

Решение:

Найдем наибольший общий делитель чисел 15 и 35, для этого разложим их на простые множители: 15 = 3 · 5, 35 = 5 · 7. Очевидно, что общим делителем для двух чисел является число 5. Таким образом, НОД(15; 35) = 5.

Ответ: НОД(15; 35)=5.

Пример 2

Задача. Найти НОД(36; 48).

Решение.

Разложим числа 36 и 48 на простые множители.

36 = 2 · 2· 3 · 3 или 36 = 22 · 32, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 или 48 = 24 · 3

Найдём общие множители с наименьшими показателями: 2 · 2 · 3 = 12.

Ответ: НОД(36; 48) = 12.

Примечание: Мы берем из разложений только те множители, которые повторяются и в первом и во втором числе. То есть у нас есть две двойки в разложении числа 36, и четыре двойки в разложении числа 48. Однако, мы возьмем только две двойки, так как они повторяются и в разложении на множители числа 36 и в разложении числа 48.

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 24 и 36.

Решение:

Для нахождения НОД(24, 36) необходимо разложить оба числа на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3,

36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Общие множители — это 2, 2 и 3. Произведение общих множителей равно 2 · 2 · 3 = 12.

Ответ: НОД(24, 36) = 12.

Алгоритм Евклида

Для нахождения НОД двух чисел можно использовать алгоритм Евклида. Алгоритм заключается в последовательном вычислении остатков от деления первого числа на второе, затем второго на остаток от деления первого и так далее, пока остаток не будет равен нулю. Последнее ненулевое число будет являться НОД-ом исходных чисел.

Допустим, мы хотим найти НОД(84, 18) по алгоритму Евклида.

  1. Делим 84 на 18: 84 : 18 = 4 с остатком 12.
  2. Записываем результат деления и остаток в виде уравнения: 84 = 18 · 4 + 12.
  3. Теперь делим 18 на 12: 18 : 12 = 1 с остатком 6.
  4. Записываем результат деления и остаток в виде уравнения: 18 = 12 · 1 + 6.
  5. Продолжаем алгоритм, деля 12 на 6: 12 : 6 = 2 с остатком 0.
  6. Когда остаток равен 0, мы прекращаем выполнять алгоритм Евклида, потому что последний делитель и есть НОД. В данном случае НОД(84, 18) = 6.

Таким образом, алгоритм Евклида позволяет находить НОД двух чисел путем последовательного деления большего числа на меньшее до тех пор, пока не будет получен остаток 0.

Ещё пример нахождения НОД по алгоритму Евклида:

Найти НОД(108, 84).

Решение:

  1. Делим большее число на меньшее с получением остатка: 108 = 84 · 1 + 24.
  2. Делим предыдущее меньшее число на полученный остаток: 84 = 24 · 3 + 12.
  3. Делим предыдущий остаток на полученный остаток: 24 = 12 · 2 + 0.

Таким образом, НОД(108, 84) = 12.

Алгоритм Евклида можно расширить для нахождения НОД более чем двух чисел путем многократного применения алгоритма к парам чисел. Чтобы найти НОД трех чисел a, b и c, мы сначала найдем НОД чисел a и b, используя алгоритм Евклида.

Затем мы находим НОД результата и c и так далее. Например, рассмотрите нахождение НОД чисел 24, 36 и 48. Сначала мы находим НОД чисел 24 и 36, что равно 12.

Затем мы находим НОД чисел 12 и 48, что также равно 12. Следовательно, НОД чисел 24, 36 и 48 равно 12. Алгоритм Евклида более эффективен, чем перечисление всех множителей чисел. Это особенно полезно при работе с большими числами.

Например, рассмотрим нахождение НОД чисел 123456 и 789012. Перечисление всех делителей этих чисел может оказаться сложной задачей. Алгоритм Евклида еще более усложняет задачу. Однако, покажем, как он работает:

789012:123456=6 \cdot 123456+48276
123456:48276=2 \cdot 48276+26904
48276:26904=1 \cdot 26904+21372
26904:21372=1 \cdot 21372+5532
21372:5532=3 \cdot 5532+4776
5532:4776=1 \cdot 4776+756
4776:756=6 \cdot 756+240
756:240=3 \cdot 240+36
240:36=6 \cdot 36+24
36:24=1 \cdot 24+12
24:12=2 \cdot 12+0

Последний ненулевой остаток — это 12. Значит, 12 — это и есть наибольший общий делитель двух чисел 123456 и 789012.

Совет: проще, быстрее использовать метод нахождения общих множителей, чем алгоритм Евклида. Однако, алгоритм Евклида, предпочтительней использовать в программировании, так как задачу можно легко записать понятным для машины последовательным набором деления и нахождения остатка. 

Примеры для самостоятельного решения

Найдите:

  1. НОД(24, 36)
  2. НОД(15, 45)
  3. НОД(50, 75)
  4. НОД(21, 28)
  5. НОД(18, 30)
  6. НОД(63, 84)
  7. НОД(27, 45)
  8. НОД(36, 60)
  9. НОД(12, 18)
  10. НОД(48, 72)
  11. НОД(14, 35)
  12. НОД(25, 50)
  13. НОД(42, 56)
  14. НОД(54, 90)
  15. НОД(16, 32)
  16. НОД(39, 52)
  17. НОД(20, 25)
  18. НОД(66, 99)
  19. НОД(30, 45)
  20. НОД(10, 20)
  21. НОД(80, 120)
  22. НОД(33, 44)
  23. НОД(90, 120)
  24. НОД(22, 44)
  25. НОД(28, 35)
  26. НОД(56, 84)
  27. НОД(26, 39)
  28. НОД(75, 100)
  29. НОД(42, 63)
  30. НОД(12, 24)
Ответы:

Ответы. 

  1. 12
  2. 15
  3. 25
  4. 7
  5. 6
  6. 21
  7. 9
  8. 12
  9. 6
  10. 24
  11. 7
  12. 25
  13. 14
  14. 18
  15. 16
  16. 13
  17. 5
  18. 33
  19. 15
  20. 10
  21. 40
  22. 11
  23. 30
  24. 22
  25. 7
  26. 28
  27. 13
  28. 25
  29. 21
  30. 12

В некоторых ситуациях может потребоваться найти НОД отрицательных чисел. Алгоритм Евклида все еще применим в таких случаях. При делении отрицательных чисел мы учитываем абсолютные значения чисел. Например, рассмотрим нахождение НОД для -24 и 36. Сначала мы возьмем абсолютные значения -24 и 36, которые равны 24 и 36 соответственно. Затем мы применяем алгоритм Евклида и обнаруживаем, что НОД чисел 24 и 36 равен 12. Следовательно, НОД чисел -24 и 36 также равен 12.

Наибольший общий делитель (НОД) является ключевым понятием в математике. Это наибольшее положительное целое число, которое делит два или более чисел без остатка. Два метода нахождения НОД чисел — перечисление всех множителей чисел и более эффективный алгоритм Евклида — это деление делителя на остаток и повторение этого процесса до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. НОД — это последний ненулевой остаток, полученный в этой цепочке повторений. 

математика-повторение
Adblock
detector