Наименьшее общее кратное и нахождение наименьшего общего кратного (НОК)

Наименьшее общее кратное и нахождение наименьшего кратного 5 класс. Математика.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным каждому из этих чисел. Другими словами, это наименьшее число, которое делится без остатка на все заданные числа.

Определение и алгоритм нахождения НОК

Наименьшим общим кратным натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Например, для чисел 24 и 42, их наименьшим общим кратным (НОК) является число 168. Это число является наименьшим, которое одновременно делится на 24 и 42.

Для вычисления НОК нескольких натуральных чисел необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
  2. Выписать разложение числа с наибольшими простыми множителями и умножить его на недостающие множители из разложений остальных чисел.

Если числа являются взаимно простыми (т.е., их наибольший общий делитель равен 1), то их наименьшее кратное будет равно произведению этих чисел.

Примеры нахождения наименьшего общего кратного

Пример 1

Найти НОК(35; 40).

Вычислим наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 35 и 40.

Разложить 40

Разложение на множители числа 35

Разложим числа 35 и 40 на их простые множители.

35 = 5 · 7, 40 = 2 · 2 · 2 · 5 или 40 = 2^3 \cdot 5.

Возьмем разложение числа 40, так как оно имеет большую степень для множителя 2, и дополним его недостающими множителями.

Таким образом, НОК(35; 40) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 280.

Ответ: НОК(35; 40) = 280.

Пример 2

Найти НОК(45; 54).

Мы проводим факторизацию чисел 45 и 54 на их простые множители.

Разложение на множители числа 45

Разложение на множители числа 54

45 раскладывается на 3^2 \cdot 5, а 54 — на 2 \cdot 3^3.

Мы берем разложение числа 54 и умножаем его на недостающие множители из разложения числа 45, то есть на 5.

Таким образом, наименьшее общее кратное (НОК) чисел 45 и 54 равно 2 \cdot 3^3 \cdot 5, что равно 270.

Итак, НОК(45; 54) = 270.

Пример 3

Найти НОК(75; 120; 150).

Проведем факторизацию чисел 75, 120 и 150 на их простые множители.

Разложение на множители числа 75

Разложение на множители числа 120

Разложение на множители числа 150

Пусть у нас есть числа 75, 120 и 150. Мы можем разложить их на простые множители и использовать их разложение для определения наименьшего общего кратного (НОК).

  1. Разложение числа 75: 75 = 3 \cdot 5^2
  2. Разложение числа 120: 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5
  3. Разложение числа 150: 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2

Мы замечаем, что в разложении числа 120 есть три двойки, а в разложении числа 150 — только одна. Чтобы уравнять количество двоек, добавим в разложение числа 150 две дополнительные двойки.

Теперь мы можем составить НОК, умножив все простые множители с их наибольшими степенями:

НОК(75; 120; 150) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = 600.

Таким образом, НОК(75; 120; 150) равно 600.

Вывод: в итоге, для определения НОК необходимо умножить все различные простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, причем каждый множитель выбирается с максимальной степенью, которая присутствует в исходных числах.

математика-повторение
Adblock
detector