Задача. На рисунке изображены части графиков функций \displaystyle f (x) = \frac{k}{x} и \displaystyle g (x) = \frac{c}{x} + d. Найдите абсциссу точки пересечения графиков этих функций.
Решение
Исходя из условий задачи, видно, что функция g (x) пересекает ось абсцисс, в то время как функция f (x) не имеет точек пересечения с осью абсцисс из-за ограничения x \neq 0.
Следовательно, точки с координатами (2; -1) и (4; 0) находятся на графике функции g (x) , а точки (4; -3) и (2; -6) – на графике функции f (x) .
Определим коэффициенты c, d и k.
Подставим координаты точек в уравнение функции g (x) , чтобы получить систему уравнений:
\displaystyle \begin{cases} \displaystyle — 1 = \frac{c}{2} + d \\ \displaystyle 0 = \frac{c}{4} + d \end{cases}
Из второго уравнения выразим d: \displaystyle d = -\frac{c}{4}. Подставим это в первое уравнение: \displaystyle -1 = \frac{c}{2} — \frac{c}{4}. Решая, получаем c = -4, откуда следует, что d = 1.
Таким образом, функция g (x) принимает вид:
\displaystyle g (x) = \frac{-4}{x} + 1
Теперь подставим координаты точки в уравнение функции f (x) и найдем k:
\displaystyle -3 = \frac{k}{4}
Отсюда получаем k = -12 и функция f (x) будет выглядеть так:
\displaystyle f (x) = \frac{-12}{x}
Приравняем функции в точке пересечения:
\displaystyle \frac{-4}{x} + 1 = \frac{-12}{x}
Упростим уравнение:
-4 + x = -12 \\ x = -8
Таким образом, абсцисса точки пересечения графиков данных функций равна -8.
Ответ: -8.