Моторная лодка прошла против течения реки 96 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Эта задача была взята из стандартных экзаменационных вариантов по математике профильного уровня за 2023 год, которые были составлены И.В. Ященко. В этих материалах нет решения данной задачи, поэтому мы предоставим детальное объяснение ее решения.
Решение
Давайте вспомним, как мы выражаем скорость лодки при перемещении в направлении течения и против течения.
Предположим, что мы используем следующие обозначения: u — скорость течения реки, v_0 — скорость лодки без учета влияния течения (скорость лодки в спокойной воде или при отсутствии значительного влияния течения). Тогда скорость лодки при движении в направлении течения составляет v = v_0 + u, а скорость лодки против течения равна v = v_0 — u.
В данной задаче у нас известна скорость лодки без учета течения, и она равна v_0 = 10 км/ч.
Предположим, что скорость течения реки составляет x. В таком случае, скорость движения моторной лодки против течения будет равна 10-x, а скорость движения моторной лодки по течению будет равна 10+x.
Нарисуем таблицу.
Направление движения лодки | Скорость v, км/ч | Время t, ч | Расстояние, S, км |
Против течения реки | 10-x | \displaystyle \frac{96}{10-x} | 96 |
По течению реки | 10+x | \displaystyle \frac{96}{10+x} | 96 |
Таблица заполняется в соответствии с формулой \displaystyle S=v \cdot t, в задаче предоставлены значения скорости и расстояния, и мы можем вычислить время, используя формулу t=\displaystyle \frac{S}{v}.
Также у нас есть информация, что обратный путь моторной лодки занял на 4 часа меньше времени. Это означает, что время движения вниз по реке было на 4 часа меньше, чем время движения вверх по реке. Мы получим следующее уравнение:
\displaystyle \frac{96}{10-x}-\frac{96}{10+x}=4. Упрощая левую и правую части уравнения, поделив их на 4, получим:
\displaystyle \frac{24}{10-x}-\frac{24}{10+x}=1.
24 (10+x) -24 (10-x)=(10-x)(10+x)
240+24x-240+24x=100-x^2, так как (10-x)(10+x)— можно упростить используя формулу разности квадратов: (a-b)(a+b)=a^2-b^2.
48x=100-x^2
x^2+48x-100=0
Решим полученное квадратное уравнение, используя теорему Виета:
\begin{cases} x_1+x_2=-48 \\ x_1 \cdot x_2=-100 \end{cases}
При выборе, мы получим x_1=-50, x_2=2.
Поскольку невозможно иметь отрицательное значение для скорости течения реки, выберем значение x=2.
Выполним проверку:
\displaystyle \frac{96}{10-2}-\frac{96}{10+2}=4 \\ \\ \displaystyle \frac{96}{8}-\frac{96}{12}=4 \\ \\ 12-8=4 \\ \\ 4=4
Ответ: Скорость движения реки составляет 2 километра в час. В вашем ответе нужно указать только число 2.