Математика

Математика что это Алгебра

Математика, произошедшая от древнегреческого μάθημα («изучение; наука»), представляет собой строгую формальную науку, начально исследовавшую количественные соотношения и геометрические формы. В современном понимании она охватывает изучение взаимосвязей между объектами, о которых известны лишь определенные свойства, выраженные в виде аксиом в основе различных математических теорий.

Исторически математика развивалась на базе операций подсчета, измерения и описания форм объектов. Математические концепции образуются через абстрагирование свойств реальных или других математических объектов и их формализацию на языке математики.

Математика не принадлежит к естественным наукам, но находит широкое применение в них для точного выражения содержания и получения новых результатов. Она является фундаментальной дисциплиной, обеспечивающей общие языковые инструменты для других областей знания и раскрывающей структурные взаимосвязи, способствуя выявлению общих законов природы.

Основная информация

Исследуемые объекты, чьи характеристики могут быть идеализированы, могут быть представлены либо в виде аксиом, либо перечислены в определении соответствующих математических сущностей. Затем, в соответствии с четкими логическими правилами, из этих свойств выводятся другие истинные характеристики (теоремы). Таким образом, в ходе этого процесса, основанного на пространственных и количественных соотношениях, математика приходит к более абстрактным взаимосвязям, изучение которых также является ключевым аспектом в рамках современной математики.

Традиционно математика разделяется на теоретическую, которая проводит глубокий анализ внутренних структур, и на прикладную, предоставляющую свои модели для применения в других науках и инженерных дисциплинах. Важно отметить, что некоторые из этих дисциплин занимают пересекающееся положение с математикой. Например, формальная логика может рассматриваться как часть как философских, так и математических наук; механика обладает характером и физической и математической науки; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика могут быть связаны как с инженерными, так и с математическими науками, и так далее.

Этимология

Изначально слово «математика» происходит от древнегреческого μάθημα, что переводится как «изучение, знание, наука», и древнегреческого μαθηματικός, первоначально имевшего значение «восприимчивый, успевающий», а затем переходившего в значение «относящийся к изучению» и, в конечном итоге, «относящийся к математике».

В частности, μαθηματικὴ τέχνη, что на латинском звучит как «ars mathematica», означает «искусство математики».

Термин древнегреческого μᾰθημᾰτικά в современном значении «математика» можно обнаружить уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). Согласно Фасмеру, слово в русский язык могло попасть через польское «matematyka» или через латинское «mathematica».

В русскоязычных текстах слово «математика», также известное как «маѳематика», можно найти, по крайней мере, с XVII века. Примером может служить упоминание Николаем Спафарием в его произведении «Книга избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год).

Определения

До XVIII века важнейшим определением математики считалось то, которое дал Аристотель — «наука о количестве».

Среди первых попыток дать определение предмету математики можно отметить то, которое принадлежит Декарту:

Под областью математики понимаются те науки, которые занимаются исследованием порядка или меры. Совершенно неважно, будут ли это числа, геометрические фигуры, астрономические объекты, звуки или что-либо ещё, где требуется определить этот порядок или меру. Таким образом, существует общая наука, охватывающая все аспекты порядка и меры, без углубления в изучение каких-либо конкретных объектов. Эта наука должна иметь имя Всеобщей математики, не какой-то новой, а уже сложившейся и принятой терминологии.

Оригинальный текст (лат.)

…illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis obiecto talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiae addicta quaeri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo, sed iam inveterato atque usu recepto, Mathesim universalim nominari.

В период советской эпохи было обычным считать, что наиболее стандартное определение математики, представленное А. Н. Колмогоровым в Большой Советской Энциклопедии, звучит следующим образом:

Математика... это научное изучение количественных отношений и геометрических форм реального мира.

Однако это определение, предложенное Ф. Энгельсом, требует дополнительных разъяснений. Колмогоров уточняет, что все использованные термины следует интерпретировать в самом широком и абстрактном смысле:

Сущность математики теперь понимается как изучение взаимоотношений между объектами, о которых известно лишь некоторые описывающие их свойства, а именно те свойства, которые являются аксиомами, положенными в основу теории... Математика является набором абстрактных форм — математических структур.

Герман Вейль выразил пессимистическое мнение о возможности предоставить общепринятое определение математического объекта:

Вопрос о фундаментальных основах математики и о том, что в конечном итоге представляет собой математика, остается открытым. Мы не обладаем каким-либо направлением, которое в конечном счете позволит найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что такой «окончательный» ответ когда-либо будет получен и принят всеми математиками. «

Математизация» может остаться одним из выражений творческой деятельности человека, аналогично музыке или литературному искусству — выдающимся и уникальным. Тем не менее, прогнозирование его исторической судьбы не поддается разумению и не способно быть объективным.

Разделы математики

В Российской Федерации математика, как обучающая дисциплина, делится на две категории: элементарную математику, изучаемую в средних школах, и высшую математику, преподаваемую на нематематических направлениях вузов.

Элементарная математика содержит арифметику, элементарную алгебру, а также элементарную геометрию в форме планиметрии и стереометрии, а также теорию элементарных функций и базовые элементы анализа.

В то время как высшая математика, преподаваемая на нематематических направлениях, варьируется в зависимости от специфики специальности.

Программа обучения для специальности «математика» содержит следующие учебные дисциплины:

  • Дифференциальная геометрия
  • Методы вычислений, включая численные методы
  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика
  • Аналитическая геометрия
  • Дискретная математика
  • Функциональный анализ и интегральные уравнения
  • Теория чисел
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Вариационное исчисление и методы оптимизации
  • Теория функций комплексного переменного
  • Алгебра
  • Линейная алгебра и геометрия
  • Математический анализ
  • Топология
  • Теория случайных процессов
  • Уравнения в частных производных (для физиков заменяется курсом «Методы математической физики»).

Министерство образования и науки Российской Федерации определяет специализации в области математики для научных работников. Вот эти специализации:

  • Вычислительная математика
  • Математическая физика
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Вещественный, комплексный и функциональный анализ
  • Геометрия и топология
  • Дискретная математика и математическая кибернетика
  • Математическая логика, алгебра и теория чисел
  • Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Для упорядочивания научных исследований применяется раздел «Математика» в универсальной десятичной классификации (УДК).

Американское математическое общество (AMS) разработало свой собственный стандарт для классификации разделов математики, известный как «Mathematics Subject Classification». Этот стандарт периодически обновляется, и на данный момент актуальной версией является MSC 2020, предшествующей версией была MSC 2010.

Обозначения

Сложные и многообразные структуры, с которыми работает математика, обуславливают сложность системы обозначений в этой науке. Система записи формул в современной математике сформировалась на базе европейской алгебраической традиции, а также удовлетворяет потребностям различных разделов математики, таких как математический анализ, математическая логика, теория множеств и другие. Геометрия всегда оперировала наглядными, геометрическими представлениями. В современной математике также широко используются сложные графические системы записи, такие как коммутативные диаграммы. Кроме того, часто используются обозначения, основанные на графах.

Краткая история математики

В истории математики сформировались следующие периоды в развитии, как предложил академик А. Н. Колмогоров:

  • Период возникновения математики, во время которого накопился значительный фактический материал.
  • Период элементарной математики, начиная с VI-V веков до н. э. и до конца XVI века. Важное понятийное ядро «элементарной математики» используется в начальной и средней школе.
  • Период математики переменных величин, простирающийся с XVII до XVIII веков. Этот период также можно назвать «высшей математикой».
  • Период современной математики, охватывающий XIX и XX века. В этот период математики столкнулись с необходимостью систематического исследования возможных типов количественных отношений и пространственных форм.

Развитие математики началось с применения абстракций более высокого уровня. Самой первой абстракцией является понятие числа. Понимание того, что два разных объекта могут иметь общее — как, например, два яблока и два апельсина, занимающих обе руки, — является существенным достижением человеческой мысли. Это привело к развитию арифметики и её операций: сложение, вычитание, умножение, деление.

Цифры и числа Майя
Цифры и числа Майя

Развитие математики опиралось на письменность и возможность записи чисел. Первоначально, люди могли изображать количество чередой черточек на земле или рисовать их на древесине. В разных культурах существовали разнообразные системы счисления. Индская цивилизация разработала десятичную систему с нулем.

Исторические потребности в коммерческих расчетах, земельных измерениях, астрономических предсказаниях и решении физических задач подталкивали появление основных математических дисциплин. Эти сферы играли значительную роль в развитии математики и исследовании структур, пространств и изменений.

Важные понятия в математике

Математика занимается изучением абстрактных идеальных объектов и их взаимосвязей, используя специальный формальный язык. Часто математические понятия и теоремы не обязательно имеют прямое отражение в реальном физическом мире. Основной целью в прикладных областях математики является создание математических моделей, которые достаточно точно описывают реальные объекты. В то время как в теоретической математике приоритетом является предоставление удобных инструментов для достижения этой цели.

Суть математики заключается в системе математических моделей и средств для их построения. Эти модели учитывают только необходимые аспекты объекта, выделяя главное для исследования. Например, абстрагируясь от цвета и вкуса, можно рассмотреть апельсин как идеализированный шар. В другом случае, чтобы сложить два и три апельсина, можно абстрагироваться только до количества. Абстракция и установление связей между объектами на самом общем уровне — ключевые аспекты математической деятельности.

Кроме абстракции, важное направление — это обобщение. Например, обобщение понятия «пространство» до n-мерных пространств.

«Пространство \mathbb {R} ^{n}, при n>3 — это математическая абстракция, но гениальная, которая помогает понимать сложные явления».

Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.

Исследование объектов внутри математики часто происходит с применением аксиоматического метода. Сначала формулируются основные понятия и аксиомы, а затем, используя правила вывода, получаются теоремы, которые составляют математическую модель.

Основание математики

С времён Платона ведется обсуждение сущности и оснований математики. В XX веке началось сравнительное согласие по вопросу о том, что следует признавать строгим математическим доказательством, но разногласие сохраняется в определении, что в математике следует считать изначально истинным. Это приводит к разногласиям как в области аксиоматики и взаимосвязи различных математических дисциплин, так и в выборе логических систем, используемых в процессе доказательств.

В дополнение к скептическому взгляду, существуют следующие подходы к данному вопросу.

Конструктивная математика

Конструктивная математика — течение в математике, близкое к интуиционизму, которое уделяет внимание исключительно конструктивным методам построения математических объектов. В соответствии с основным критерием этого направления — «существовать значит быть построенным» — акцент делается на явное создание объектов вместо доказательства их существования. Критерий конструктивности предполагает более строгий подход, чем критерий непротиворечивости.

Интуиционизм

Интуиционизм, как философский и методологический подход в математике, строится на основе интуиционистской логики. Эта логика предполагает более ограниченные средства доказательства, однако считается более надежной. Отвергая доказательство от противного и подчеркивая конструктивный характер, интуиционизм считает неконструктивные доказательства бессмысленными и рассматривает многие проблемы теории множеств как неформализуемые.

Формализм

Формализм в математике представляет изучение формальных систем, основанных на классической логике. Этот подход подчеркивает важность строгого формализованного описания математических объектов и операций.

Логицизм

Логицизм как методология предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, которые могут возникнуть при использовании теории множеств, избегаются с помощью специальных уловок, но в рамках логицизма эти парадоксы вообще невозможны.

Теоретико-множественный подход

Теоретико-множественный подход предполагает рассмотрение всех математических объектов в контексте теории множеств, преимущественно используя аксиоматику Цермело-Френкеля или равносильные ей. Этот подход стал доминирующим с середины XX века. В действительности большинство математических работ не переводят свои утверждения на строгий язык теории множеств, оперируя понятиями и фактами из различных областей математики. В случае обнаружения противоречия в теории множеств, это не повлечет за собой отрицание большинства результатов.

Награды в математике

В области математики существует ряд престижных наград, о которых стоит узнать. Одной из самых знаменитых является Филдсовская премия, которая часто называется «Нобелевской премией для математиков». Она была учреждена в 1924 году и вручается каждые четыре года. Лауреаты этой премии получают не только почетное звание, но и денежное вознаграждение в размере 15 000 канадских долларов.

Интересно, что имена победителей четырех премий за выдающиеся достижения в математике объявляются на открытии Международного конгресса математиков.

Вот эти награды:

  • Премия Филдса.
  • Премия Неванлинны, которая присуждается с 1982 года.
  • Премия Гаусса, учрежденная в 2006 году.
  • Премия Черна, которая начала вручаться с 2010 года.

Кроме того, начиная с 2010 года, на закрытии конгресса вручается премия Лилавати, которая поощряет популяризацию математики.

Захватывающая инициатива была предпринята Математическим институтом Клэя в 2000 году. Они опубликовали список из семи сложных математических задач, и за решение каждой из них обещали дать приз в размере 1 миллиона долларов США.

математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Adblock
detector