Логарифм степени

Логарифм степени Алгебра

Формула для логарифма степени \log_{a}(b^k) выглядит следующим образом:

\log_{a}(b^k) = k \cdot \log_{a} b .

Эта формула утверждает, что логарифм числа b в степени k по основанию a равен k умножить на логарифм числа b по тому же самому основанию a .

Примеры применения

Рассмотрим решение примеров

1) \log_{5}(16^4) = 4 \cdot \log_{5} 16 .

2) \log_{5}(9^3) = 3 \cdot \log_{5} 9 .

Теперь рассмотрим следующие задачи:

1) Вычислите \log_{5}(24^2) .

2) Если известно, что \log_{5} 2 = a и \log_{5} 3 = b , найдите \log_{5}(2^{162}) .

Давайте рассмотрим решение данной задачи. Для начала, мы можем использовать свойства логарифмов, такие как формула логарифма произведения:
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y.
Также, мы можем воспользоваться формулой логарифма степени:
\log_a b^k = k \cdot \log_a b.

1) Перейдем к первому пункту. У нас есть выражение \log_5 24 . Мы можем разложить 24 на множители: 24 = 8 \cdot 3 . Теперь мы можем использовать формулу логарифма произведения:
\log_5 24 = \log_5 (8 \cdot 3) = \log_5 8 + \log_5 3.
Продолжим разложение:
\log_5 24 = \log_5 8 + \log_5 3 = \log_5 2^3 + \log_5 3 = 3 \log_5 2 + \log_5 3.
Мы можем обозначить \log_5 2 как a и \log_5 3 как b , тогда наше выражение примет вид 3a + b .

2) Теперь перейдем ко второму пункту. У нас дано \log_5 162 . Мы можем представить 162 как произведение 2 \cdot 81 . Воспользуемся формулой логарифма произведения:
\log_5 162 = \log_5 (2 \cdot 81) = \log_5 2 + \log_5 81.
Продолжим расчет:
\log_5 162 = \log_5 2 + \log_5 81 = \log_5 2 + \log_5 3^4 = \log_5 2 + 4 \log_5 3 = a + 4b.

Таким образом, мы получили два выражения для заданных логарифмов, которые можно записать в виде 3a + b и a + 4b .

Решение уравнений

Уравнение 1

Решим данное уравнение:

1) \log_2{3} + 2\log_2{(x-1)} = \log_2{27}.

Решение.

Давайте представим левую часть уравнения в виде логарифма по основанию 2. Для этого преобразуем 2\log_2{(x-1)} в логарифм степени, а затем объединим сумму логарифмов в логарифм произведения:

\log_2{3} + \log_2{(x-1)^2} = \log_2{27};

\log_2{3 \cdot (x-1)^2} = \log_2{27}. Поднимем обе стороны уравнения в степень:

3 \cdot (x-1)^2 = 27 \Rightarrow (x-1)^2 = 9 \Rightarrow (x-1)^2 = 3^2;

x-1 = 3              или              x-1 = -3.

x = 3 + 1                              x = -3 + 1.

x = 4                  или              x = -2.

Проанализируем полученные результаты: значение x = -2 не удовлетворяет условию существования логарифма \log_2{(x-1)}, так как под знаком логарифма могут находиться только положительные числа. Проведем проверку для x = 4.

Проверка.

Рассмотрим проверку данного уравнения. Возьмем значение 4 для переменной x и подставим его вместо х:

\log 2 \cdot 3 + 2 \cdot \log_2 (4 — 1) = \log 2^2 \cdot 7  \\  \log 2 \cdot 3 + 2 \cdot \log_2 3 = \log 2^3 \cdot 7 \\  3 \cdot \log_2 3 = 3 \cdot \log_2 3.

Подтверждение верности уравнения.

Ответ: 4.

Уравнение 2

2) Теперь перейдем к решению следующего уравнения:

3 \cdot \log_5 (x + 5) — \log_5 2 = \log_5 4^2.

Решение:

Произведем раскрытие логарифмов:

3 \cdot \log_5 (x + 5) = 2 \cdot \log_5 4 + \log_5 2.

Далее:

\log_5 (x + 5)^3 = \log_5 (4^2 \cdot 2).

Применим свойство логарифма:

(x + 5)^3 = 8 \cdot 2. \\ (x + 5)^3 = 16.

Извлечем кубический корень:

x + 5 = 2. \\ x = 2 — 5. \\  x = -3.

Проверка:

3 \cdot \log_5 (-3 + 5) — \log_5 2 = \log_5 4^2. \\ 3 \cdot \log_5 2 — \log_5 2 = \log_5 16. \\  2 \cdot \log_5 2 = 2 \cdot \log_5 2.

Подтверждение верности уравнения.

Ответ: -3.

Читайте еще статьи про логарифмы:

математика-повторение
Adblock
detector