Свойство логарифма произведения гласит, что логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Формально, если у нас есть два положительных числа a и b, то логарифм их произведения ab можно выразить следующим образом:
\log_a bc=\log_a b+\log_a c — Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
Для десятичнных логарифмов:
\lg ab = \lg a + \lg b
Для натуральных логарифмов:
\ln ab = \ln a + \ln b
Данное свойство логарифма основано на свойстве степени и позволяет упрощать вычисления и манипуляции с логарифмами.
Примеры на свойство «логарифм произведения»
Используя формулу логарифма произведения, найти:
Пример 1
\log_3 6, если \log_3 2=a.
\log_3 6=\log_3 (2 \cdot 3)=\log_3 2+\log_3 3=\log_3 2+1=a+1.
Пример 2
\log^2_515, если \log_5 3=c. Ответ записать в виде многочлена.
\log^2_515=(\log_5 (3 \cdot 5))^2=(\log_5 3+\log_5 5)^2=(c+1)^2=c^2+2c+1.
Пример 3
\log_2 10-\log_3 15, если \log_2 5=p, \log_3 5=k.
\log_2 10-\log_3 15=\log_2 (2\cdot 5) -\log_3 (3 \cdot 5)=\log_2 2+\log_2 5- (\log_3 3+\log_3 5)=1+\log_2 5-1-\log_3 5=p-k.
Пример 4
- 10^{\lg3+\lg2+\lg4}=10^{\lg (3 \cdot 2 \cdot 4)}=10^{\lg 24}=24.
- 7^{\lg2+\lg5}=7^{\lg (2 \cdot 5)}=7^{\lg 10 }=7^1=7.
- 3^{\log_2 {10}+\log_2{3,2}}=3^{\log_2 (10 \cdot 3,2)}=3^{\log_2 {32}}=3^5=243.
Пример 5
Решить уравнение:
\lg x+\lg (x-1)=\lg2.
\lg (x \cdot (x-1))=\lg2 – преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения. Потенцируем и получаем равенство:
x (x-1)=2;
x^2-x-2=0. Дискриминант D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9=3^2. Дискриминант является полным квадратом.
По теореме Виета корни приведенного квадратного уравнения x^2-x-2=0 найдем из условий: x_1+x_2=1; x_1 \cdot x_2=-2. Подбором находим x_1=-1, x_2=2.
Значение x_1=-1 не удовлетворяет условию существования логарифма. Сделаем проверку для x_2=2.
\lg2+\lg (2-1)=\lg2;
\lg2+\lg1=\lg2;
\lg2=\lg2.
Ответ: 2.
Пример 6
Решите уравнение:
\ln (x-1)+\ln (x+1)=\ln 8.
\ln ((x-1)(x+1))=\ln8;
(x-1)(x+1)=8;
x^2-1=8;
x^2=9;
x=±3.
Значение х=-3 не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию существования логарифма \ln (x-1) и \ln (x+1).
Сделаем проверку для х=3.
\ln (3-1)+\ln (x+1)=\ln8;
\ln2+\ln4=\ln8;
\ln (2 \cdot 4)=\ln8;
\ln8=\ln8.
Ответ: 3.