Кубический корень из a, который часто обозначается как \sqrt[3]{a} или a^{1/3}, представляет собой число x, такое что x^3 = a. То есть это значение x, которое при возведении в куб дает a. Иными словами, это решение уравнения x^3 = a, и обычно предполагается, что x является вещественным числом.
Реальные корни
Извлечение кубического корня отличается от извлечения квадратного тем, что его можно вычислить даже для отрицательных чисел, получая в результате действительное число:
\displaystyle {\sqrt[3]{-a}} = -{\sqrt[3]{a}}
Комплексные корни
Когда мы извлекаем кубический корень из ненулевого комплексного числа b , мы получаем три различных значения, что является особым свойством корней степени n :
\displaystyle {\sqrt[3]{b}} = {\sqrt[3]{\lvert b \rvert}} \left ( \cos{\frac {\theta + 2m\pi }{3}} + i \sin{\frac {\theta + 2m\pi }{3}} \right), \quad m = 0, 1, 2 \quad \theta = \text{arg}{b}
Здесь \displaystyle {\sqrt[3]{\lvert b \rvert}} обозначает обычный корень из положительного числа \displaystyle \lvert b \rvert .
В частности:
\displaystyle {\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}-i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end{cases}}
\displaystyle {\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}-i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end{cases}}
Для нахождения двух комплексных значений кубического корня из реального числа используются следующие выражения:
\displaystyle {\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left (-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right).
Эти комплексные значения ключевые при решении кубических уравнений с использованием метода Кардано.
Показательная форма
Основное значение корня комплексного числа x можно выразить следующим образом:
\displaystyle x^{1/3} = e^{(1/3) \cdot \ln{x}}
где \ln - это основное значение логарифма.
Представив x как:
\displaystyle x = p e^{i\alpha}
формула для корня третьей степени примет вид:
\displaystyle \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{p} e^{\frac{i\alpha}{3}}
В геометрическом представлении на плоскости в полярных координатах, когда мы рассматриваем кубический корень из радиуса r, мы фактически взяли кубический корень от его длины. К тому же, угол, который определяет направление, делится на три. Поэтому, если x является комплексным числом, \sqrt[3]{-8} не просто равно -2, а скорее 1 + i \sqrt{3}.
Интересные факты
Не получится извлечь кубический корень с использованием только циркуля и прямой линии. Эта особенность делает классические проблемы, связанные с извлечением кубического корня, такие как удвоение объёма куба, деление угла на три равные части и создание правильного семиугольника, невыполнимыми.
Рассмотрим свойство подобных тел с одинаковой плотностью. Пропорции их размеров зависят от кубических корней их весов. Например, если у нас есть яблоко, которое весит в два раза больше по сравнению с другим, то его радиус (а следовательно и периметр) увеличится примерно на 26 % в сравнении с меньшим. Визуально может показаться, что различие в массе не такое уж и большое. Именно по этой причине, если нет возможности взвесить (например, при продаже «на глаз»), больший плод может оказаться более выгодным для покупки.
Вычисление кубического корня
Прежде всего, необходимо разбить число на группы по три (для целой части двигаемся справа налево, для дробной — наоборот). Дойдя до десятичной точки, пометьте её в результирующем числе.
Следуем алгоритму:
- Определите такое число, что его куб меньше первой тройки цифр. Если увеличить это число на единицу, его куб превысит первую тройку. Занесите это число справа от исходного. После него проставьте число 3.
- Под первой тройкой вычеркните куб отмеченного числа и вычтите его. Запишите остаток ниже, а затем приведите следующую группу цифр.
- Вместо промежуточного результата используйте переменную a. Определите x по следующей формуле:
\displaystyle 300 \times a^{2} \times x + 30 \times a \times x^{2} + x^{3}
Так что его значение меньше полученного остатка, но увеличив его на 1, он станет больше. Добавьте найденное x справа в результирующем числе. Если достигли нужной степени точности, прервите расчеты.
Приведите результат вычисления по указанной формуле ниже и вычтите его. Затем вернитесь к третьему шагу.