Даны векторы \vec{a}(4; -1) и \vec{b}(b_0; 8). Найдите b_0, если |\vec{b}|=2,5|\vec{a}|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение
Чтобы определить неизвестный компонент b_0 вектора \vec{b}, воспользуемся заданным соотношением между длинами векторов \vec{a} и \vec{b}. Сначала найдем длину вектора \vec{a}, используя его координаты:
|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
Для вектора \vec{b} задано, что его длина в 2,5 раза больше длины вектора \vec{a}, следовательно:
2,5|\vec{a}| = 2,5\sqrt{17}
Длина вектора \vec{b} через его координаты выражается как:
|\vec{b}| = \sqrt{b_0^2 + 8^2}
Теперь приравняем длины векторов:
\sqrt{b_0^2 + 64} = 2,5\sqrt{17}
Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:
b_0^2 + 64 = 6,25 \cdot 17 \\ b_0^2 + 64 = 106,25
Выразим b_0^2:
b_0^2 = 106,25 — 64 = 42,25
Корень из 42,25 равен 6,5, но поскольку квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным, у нас есть два возможных значения для b_0:
b_0 = \pm 6,5
Однако, в задаче требуется выбрать большее значение, поэтому: b_0 = 6,5
Ответ: 6,5.