Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, расположенных в определенном порядке. Она играет важную роль в математике и имеет множество применений в различных областях, начиная от арифметики и алгебры, и заканчивая физикой и экономикой. В этой статье мы рассмотрим основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, а также различные виды последовательностей.
Бесконечная числовая последовательность
Бесконечной числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел. Числовую последовательность принято обозначать (x_n), где n \in N.
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность может быть определена как функция, которая ставит в соответствие каждому натуральному числу индекс и числовое значение. Обычно последовательность обозначается {a_n}, где a_n — элементы последовательности, а n — индекс, принимающий значения натуральных чисел.
Например,
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — это числовая последовательность натуральных чисел от 1 до 10.
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 99, 100 — это числовая последовательность натуральных чисел от 1 до 100.
- -10, -11, -12, ... -98, -99 — это числовая последовательность двузначных отрицательных чисел.
- 2, 4, 6, 8,... 98, 100 — это числовая последовательность всех положительных четных чисел до 100.
Последовательность {a_n} называется возрастающей, если каждый последующий член этой последовательности больше предыдущего.
Последовательность {a_n} называется убывающей, если каждый последующий член этой последовательности меньше предыдущего.
Виды числовых последовательностей
Одним из самых простых видов числовых последовательностей является арифметическая прогрессия. В арифметической прогрессии каждый следующий элемент получается путем прибавления постоянного числа, называемого разностью, к предыдущему элементу. Например, последовательность {2, 5, 8, 11, 14, ...} является арифметической с разностью 3.
Еще одним видом числовой последовательности является геометрическая прогрессия. В геометрической прогрессии каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего элемента на постоянное число, называемое знаменателем. Например, последовательность {2, 6, 18, 54, 162, ...} является геометрической прогрессией с знаменателем 3.
Основные свойства числовых последовательностей включают ограниченность, монотонность и сходимость.
- Ограниченная последовательность имеет верхнюю и нижнюю границы, то есть все ее элементы находятся в определенном интервале.
- Монотонная последовательность может быть возрастающей (каждый следующий элемент больше предыдущего) или убывающей (каждый следующий элемент меньше предыдущего).
- Сходящаяся последовательность имеет предел, то есть она стремится к определенному числу при бесконечном продолжении.
Ограниченная последовательность
Последовательность (x_n) называется ограниченной, если существуют два числа m и M, такие, что для любого n \in N имеет место неравенство m \leq x_n \leq M. Например, последовательность (x_n):
\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, . \ . \ . \ , \frac{1}{n}, ограничена, так как 0 < x_n \leq 1.
Возрастающая последовательность
Последовательность (x_n) называется называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, то есть если x_{n+1}>x_n для всех натуральных чисел.
Например, последовательность (x_n): \displaystyle 0, \frac{1}{2}, . \ . \ . \ , \frac{n-1}{n}, . \ . \ . \ возрастающая, так как \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n (n+1)}>0, то есть x_{n+1}>x_n.
Убывающая последовательность
Последовательность (x_n) называется убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего, то есть, если x_{n+1}<x_n для всех натуральных чисел.
Например, последовательность (x_n): \displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},. \ . \ . \ , \frac{1}{n}, . \ . \ . убывающая, так как \displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n (n+1)}<0, то есть x_{n+1}<x_n.